狄拉克 delta 导函数
贡献者： addis
分部积分：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta'_n(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty} \left. \delta_n(x) f(x) \right\rvert _{-\infty}^\infty - \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x) f'(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= - f'(0)
\end{aligned}
\end{equation}
所以狄拉克 delta 导函数就是任意 delta 函数列的负导数．
可以拓展到
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty -\delta'_n(x-x_0) f(x) \,\mathrm{d}{x} = f'(x_0)
\end{equation}
性质：$\delta'(-x) = -\delta'(x)$（但每个具体的 $\delta'_n$ 未必是奇函数）
例 1
例 1
\begin{equation}
\delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots)
\end{equation}
\begin{equation}
-\delta'_n(x) = \frac{n}{\pi x} [ \operatorname{sinc} (nx) - \cos\left(nx\right) ]
\end{equation}