Julia 常用的数学运算

贡献者： xzllxls; addis

　　 本文授权转载自郝林的 《Julia 编程基础》．原文链接：第 5 章 数值与运算．

1. 5.5 常用的数学运算

　　 Julia 中的一些操作符可以用于数学运算或位运算（也就是比特运算）．这样的操作符也可以被称为运算符．因此，我们就有了数学运算符和位运算符这两种说法．

5.5.1 数学运算符

　　 可用于数学运算的运算符请见下表．

　　 可以看到，Julia 中通用的数学运算符共有 9 个．其中，与 + 和 - 一样，√ 也是一个一元运算符．它的含义是求平方根．在 REPL 环境中，我们可以通过输入 \sqrt[Tab] 写出这个符号．我们还可以用函数调用 sqrt(x) 来替代表达式 √x．

　　 所谓的一元运算是指，只有一个数值参与的运算，比如 √x．更宽泛地讲，根据参与操作的对象的数量，操作符可被划分为一元操作符（unary operator）、二元操作符（binary operator）或三元操作符（ternary operator）．其中，参与操作的对象又被称为操作数（operand）．

　　 除上述的运算符之外，Julia 还有一个专用于 Bool 类型值的一元运算符 !，称为求反运算符．它会将 true 变为 false，反之亦然．

　　 这些数学运算符都是完全符合数学逻辑的．所以我在这里就不再展示它们的示例了．

5.5.2 位运算符

　　 我们都知道，任何值在底层都是根据某种规则以二进制的形式存储的．数值也不例外．我们把以二进制形式表示的数值简称为二进制数．所谓的位运算，就是针对二进制数中的比特（或者说位）进行的运算．这种运算可以逐个地控制数中每个比特的具体状态（0 或 1）．

　　 Julia 中的位运算符共有 7 个．如下表所示．

　　 利用 bitstring 函数，我们可以很直观地见到这些位运算符的作用．例如：

julia> x = Int8(-10)
-10

julia> bitstring(x)
"11110110"

julia> bitstring(~x)
"00001001"

julia>

　　 可以看到，按位求反的运算符 ~ 会把 x 中的每一个比特的状态都变反（由 0 变成 1 或由 1 变成 0）．这也是 Julia 中唯一的一个只需一个操作数的位运算符．因此，它与前面的 + 和 - 一样，都可以被称为一元运算符．

　　 我们再来看按位求与和按位求或：

julia> y = Int8(17)
17

julia> bitstring(x)
"11110110"

julia> bitstring(y)
"00010001"

julia> bitstring(x & y)
"00010000"

julia> bitstring(x | y)
"11110111"

julia>

　　 我们定义变量 y，并由它来代表 Int8 类型的整数 17．y 的二进制表示是 00010001．对比变量 x 的二进制表示 11110110，它们只在左边数的第 4 位上都为 1．因此，x & y 的结果就是 00010000．另一方面，它们只在右数第 4 位上都为 0，所以 x | y 的结果就是 11110111．

　　 按位异或的运算符 ⊻ 看起来很特别．因为在别的编程语言中没有这个操作符．在 REPL 环境中，我们可以通过输入 \xor[Tab] 或 \veebar[Tab] 写出这个符号．我们还可以用函数调用 xor(x, y) 来替代表达式 x ⊻ y．

　　 我们在前表中也说明了，x ⊻ y 的含义就是逐个对比 x 和 y 的每一个二进制位，只要不同就为 1，否则为 0．示例如下：

julia> bitstring(x), bitstring(y), bitstring(x ⊻ y)
("11110110", "00010001", "11100111")

julia>

　　 Julia 提供了 3 种位移运算，分别是逻辑右移、算术右移和逻辑左移．下面是演示代码：

julia> bitstring(x)
"11110110"

julia> bitstring(x >>> 3)
"00011110"

julia> bitstring(x >> 3)
"11111110"

julia> bitstring(x << 3)
"10110000"

julia>

　　 在位移运算的过程中，数值的宽度（或者说占用的比特数）是不变的．我们可以把承载一个数值的存储空间看成一条板凳，而数值的宽度就是这条板凳的宽度．现在，有一条板凳承载了 x 变量代表的那个整数，并且宽度是 8．也就是说，这条板凳上有 8 个位置，可以坐 8 个比特（假设比特是某种生物）．

　　 每一次位移，板凳上的 8 个比特都会作为整体向左或向右移动一个位置．在移动完成后，总会有 1 个比特被挤出板凳而没有位置可坐，并且也总会有 1 个位置空出来．比如，如果向右位移一次，那么最右边的那个比特就会被挤出板凳，同时最左边会空出一个位置．没有位置可坐的比特会被淘汰，而空出来的位置还必须引进 1 个新的比特．

　　 好了，我们现在来看从 11110110 到 00011110 的运算过程．后者是前者逻辑右移三次之后的结果．按照前面的描述，在向右移动三次之后，最右边的 3 个比特被淘汰了．因此，这时的二进制数就变为了 11110．又由于，逻辑右移运算会为所有的空位都填补 0（状态为 0 的比特），所以最终的二进制数就是 00011110．

　　 与逻辑右移相比，算术右移只有一点不同，那就是：它在空位上填补的不是 0，而是原值的最高位．什么叫最高位？其实它指代的就是位置最高的那个比特．对于一个二进制数，最左边的那个位置就是最高位，而最右边的那个位置就是最低位．x 的值 11110110 的最高位是 1．因此，在算术右移三次之后，我们得到的新值就是 11111110．

　　 与右移运算不同，左移运算只有一种．我们把它称为逻辑左移．这主要是因为该运算也会为空位填补 0．所以，11110110 经过逻辑左移三次之后就得到了 10110000．

5.5.3 运算同时赋值

　　 Julia 中的每一个二元的数学运算符和位运算符都可以与赋值符号 = 联用，可称之为更新运算符．联用的含义是把运算的结果再赋给参与运算的变量．例如：

julia> x = 10; x %= 3
1

julia>

　　 REPL 环境回显的 1 就是变量 x 的新值．但要注意，这种更新运算相当于把新的值与原有的变量进行绑定，所以原有变量的类型可能会因此发生改变．示例如下：

julia> x = 10; x /= 3
3.3333333333333335

julia> typeof(x)
Float64

julia>

　　 显然，x 变量原有的类型肯定是某个整数类型（Int64 或 Int32）．但更新运算使它的值变成了一个 Float64 类型的浮点数．因此，该变量的类型也随之变为了 Float64．

　　 所有的更新运算符罗列如下：

+= -= *= /= \= ÷= %= ^= &= |= ⊻= >>>= >>= <<=

　　 前 8 个属于数学运算，后 6 个属于位运算．

5.5.4 数值的比较

　　 理所应当，数值与数值之间是可以比较的．在 Julia 中，这种比较不但可以发生在同类型的值之间，还可以发生在不同类型的值之间，比如整数和浮点数．通常，比较的结果会是一个 Bool 类型的值．

　　 对于整数之间的比较，我们就不多说了．它与数学中的标准定义没有什么两样．至于浮点数，相关操作仍然会遵循 IEEE 754 技术标准．这里存在 4 种互斥的比较关系，即：小于（less than）、等于（equal）、大于（greater than）和无序的（unordered）．

　　 具体的浮点数比较规则如下：

• 只要参与比较的两个数值中有一个是 NaN，比较的结果就必然是 false．因为 NaN 不与任何东西相等，包括它自己．或者说，这种情况下的所有比较关系都是无序的．
• Inf 等于它自己，并且一定大于除了 NaN 之外的任何数．
• -Inf 等于它自己，并且一定小于除了 NaN 之外的任何数．
• 正零（0.0）和负零（-0.0）是相等的．尽管它们在底层存储上是不同的．
• 其他情况下的有限浮点数比较将会按照数学中的标准定义进行．

　　 Julia 中标准的比较操作符如下表．

　　 注意，对于不等于、小于或等于以及大于或等于，它们都有两个等价的操作符可用．表中已用空格将它们分隔开了．

　　 这些比较操作符都可以用于链式比较，例如：

julia> 1 < 3 < 5 > 2
true

julia>

　　 只有当链式比较中的各个二元比较的结果都为 true 时，链式比较的结果才会是 true．注意，我们不要揣测链中的比较顺序，因为 Julia 未对此做出任何定义．

　　 在这些比较操作符当中，我们需要重点关注一下 == 我们之前使用过一个用于判断相等的操作符 ===．另外，还有一个名叫 isequal 的函数也可以用于判等．我们需要明确这三者之间的联系和区别．

　　 首先，操作符 === 代表最深入的判等操作．我们在前面说过，对于可变的值，这个操作符会比较它们在内存中的存储地址．而对于不可变的值，该操作符会逐个比特地比较它们．

　　 其次是操作符 ==．它完全符合数学中的判等定义．它只会比较数值本身，而不会在意数值的类型和底层存储方式．对于浮点数，这种判等操作会严格遵循 IEEE 754 技术标准．顺便说一句，在判断两个字符串是否相等时，它会逐个字符地进行比较，而忽略其底层编码．

　　 函数 isequal 用于更加浅表的判等．在大多数情况下，它的行为都会依从于操作符 ==．在不涉及浮点数的时候，它会直接返回 == 的判断结果．那为什么说它更加浅表呢？这是因为，对于那些特殊的浮点数值，它只会去比较它们的字面含义．它同样会判断两个 Inf（或者两个 -Inf）是相等的，但也会判断两个 NaN 是相等的，还会判断 0.0 和 -0.0 是不相等的．这些显然并未完全遵从 IEEE 754 技术标准中的规定．下面是相应的示例：

julia> isequal(NaN, NaN)
true

julia> isequal(NaN, NaN16)
true

julia> isequal(Inf32, Inf16)
true

julia> isequal(-Inf, -Inf32)
true

julia> isequal(0.0, -0.0)
false

julia>

　　 另外，=== 和 isequal 无论如何都会返回一个 Bool 类型的值作为结果．操作符 == 在绝大多数情况下也会如此．但当至少有一方的值是 missing 时，它就会返回 missing．missing 是一个常量，也是类型 Missing 的唯一实例．它用于表示当前值是缺失的．

　　 下面的代码展示了上述 3 种判等操作在涉及 missing 时的判断结果：

julia> missing === missing
true

julia> missing === 0.0
false

julia> missing == missing
missing

julia> missing == 0.0
missing

julia> isequal(missing, missing)
true

julia> isequal(missing, 0.0)
false

julia>

　　 最后，对于不同类型数值之间的比较，Julia 一般会贴合数学上的定义．比如：

julia> 0 == 0.0
true

julia> 1/3 == 1//3
false

julia> 1 == 1+0im
true

julia>

5.5.5 操作符的优先级

　　 Julia 对各种操作符都设定了特定的优先级．另外，Julia 还规定了它们的结合性．操作符的优先级越高，它涉及的操作就会越提前进行．比如：对于运算表达式 10+3^2 来说，由于运算符 ^ 的优先级比作为二元运算符的 + 更高，所以幂运算 3^2 会先进行，然后才是求和运算．

　　 操作符的结合性主要用于解决这样的问题：当一个表达式中存在且仅存在多个优先级相同的操作符时，操作的顺序应该是怎样的．一个操作符的结合性可能是，从左到右的、从右到左的或者未定义的．像我们在前面说的比较操作符的结合性就是未定义的．

　　 下表展示了本章所述运算符的优先级和结合性．上方运算符的优先级会高于下方的运算符．

　　 此外，数值字面量系数（如 -3x+1 中的 x）的优先级略低于那几个一元运算符．因此，表达式 -3x 会被解析为 (-3) * x，而表达式 √4x 则会被解析为 (√4) * x．可是，它与幂运算符的优先级却是相当的．所以，表达式 3^2x 和 2x^3 会被分别解析为 3^(2x) 和 2 * (x^3)．也就是说，它们之间会依照从右到左的顺序来结合．

　　 对于运算表达式，我们理应更加注重正确性和（人类）可读性．因此，我们总是应该在复杂的表达式中使用圆括号来明确运算的顺序．比如，表达式 (2x)^3 的运算顺序就一定是先做乘法运算再做幂运算．不过，过多的括号有时也会降低可读性．所以我们往往需要对此做出权衡．如有必要，我们可以分别定义表达式的各个部分，然后再把它们组合在一起．