贡献者： DTSIo
1. 基本定义
设 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一个复数序列．形式表达式
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n
\]
称为以 $a_n$ 为一般项的级数（series）. 有限和
\[
S_N:=\sum_{n=1}^N a_n
\]
是良好定义的，它称为级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的部分和（partial sum）. 如果部分和序列 $\{S_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 有极限，也就是说存在实数 $S$ 使得
\[
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n=S,
\]
则称级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛到 $S$(converges to $S$), 这 $S$ 称为它的和（sum）. 如果部分和序列不存在极限，则称级数发散（divergent）.
根据极限运算的简单性质，容易看出部分和序列 $\{S_N\}$ 若有极限，则必定有 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, 由此即得到级数收敛的一个简单的必要条件．但它并不是充分条件．一般级数收敛性的唯一充分必要条件是
定理 1 级数收敛的柯西判据
级数
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n
\]
收敛，当且仅当任给 $\varepsilon > 0$, 都存在正整数 $N_\varepsilon$, 使得当 $N' > N > N_\varepsilon$ 时有
$$
\left|\sum_{n=N}^{N'} a_n\right| < \varepsilon.
$$
这是序列收敛的柯西判据的直接推论．
习题 1
利用极限的四则运算法则证明：级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，当且仅当序列 $\{a_n\}$ 的实部和虚部组成的级数都收敛．
例 1 发散级数
根据定义，一般项不趋于零的级数当然发散．但一般项趋于零也并不能保证收敛性．一个著名的例子是调和级数
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.
$$
有许多种办法能证明它发散．例如，对于正整数 $N$, 和式
$$
\sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n}
$$
总共有 $N+1$ 项，除了最后一项之外，每一项都大于 $1/2N$, 所以
$$
\sum_{n=N}^{2N}\frac{1}{n} > \frac{N+1}{2N} > \frac{1}{2}.
$$
按照柯西判据，这个级数是发散的．
通过积分的办法，可以得到一些有用的渐近公式：
$$
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\ln N+O(1),\quad N\to\infty;
$$
如果 $0 < \alpha < 1$, 那么
$$
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^\alpha}=\frac{N^{1-\alpha}}{1-\alpha}+O(1).
$$
2. 重要的收敛级数
这里列出一些最重要的收敛级数．
$p$-级数是指
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}.
$$
如果 $p > 1$ 则级数收敛，$p\leq1$ 则级数发散．最方便的证明是积分判别法; 它还能给出收敛和发散的速度估计．
$p$-对数级数是指
$$
\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}.
$$
如果 $p > 1$ 则级数收敛，$p\leq1$ 则级数发散．最方便的证明仍然积分判别法．
几何级数是指
$$
\sum_{n=0}^\infty q^n.
$$
当 $q=1$ 时，它的部分和 $\sum_{n=0}^N q^n=N+1$. 当 $q\neq1$ 时，按照等比数列的求和公式，可以算出它的部分和：
$$
\sum_{n=0}^N q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}.
$$
由此可见，几何级数在 $|q| < 1$ 时收敛，在 $|q|\geq1$ 时发散．
还有一类例子是所谓的裂项级数，也称为望远镜级数．设 $\{b_n\}$ 是极限为 $b$ 的复数序列，则级数
$$
\sum_{n=1}^\infty(b_{n+1}-b_n)
$$
是收敛的．实际上，它的部分和是
$$
\sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_{N+1}-b_1,
$$
当 $N\to\infty$ 时它的极限等于 $b-b_1$.
3. 定义辨析
对于收敛的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$, 有时也可以用这个形式表达式来代表它的和．但是需要注意，形式等式 $\sum_{n=1}^\infty a_n=S$ 的真正含义是 $\lim_{N\to\infty}S_N=S$, 必须要在这个意义下来理解它．由此，级数的和与有限个实数的和有所不同．
根据极限的四则运算法则，两个收敛级数的和与差都仍然是收敛级数．但对于改变收敛级数的求和顺序，以及两个收敛级数的乘积，则需要多加留意．后续词条绝对收敛与条件收敛 将详细解释这里可能出现的问题．
如果对级数进行四则运算时涉及到不收敛的级数，则需要更加留意．来看一个著名的例子．
例 2
考虑序列 $a_n=(-1)^n$ 组成的几何级数．这个序列的部分和在 $-1$ 和 $0$ 之间来回跳跃：当 $N$ 为奇数时 $S_N=-1$, 当 $N$ 为偶数时 $S_N=0$. 因此级数 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$ 是发散的．
如果强行定义 $S=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$, 并对这个 $S$ 像有限和那样进行四则运算，那么立刻就能导出矛盾．例如，将级数的和铺开并进行错位相加：
$$
\begin{aligned}
1 & \quad-1 & 1 & \quad-1 & 1 &...\\
& \quad\quad1 & -1 & \quad\quad1 & -1 &...
\end{aligned}
$$
除了最开头的一项之外，其余项都消去了．由此将得到"等式"$2S=1$, 或者 $S=1/2$. 但如果换一种错位相加的方式，例如错两位进行相加，那么得到的又将是"等式"$S=0$. 造成这种矛盾的唯一原因在于 $S$ 实际上不能代表任何实数，因此实数的四则运算法则对于它不适用．
然而，以上的形式操作尽管导出逻辑矛盾，却并非没有意义．由此引发出的概念叫做"发散级数的广义求和"(generalized summation of divergent series). 顾名思义，这种操作方式与通常意义下的求和 -- 取部分和的极限 -- 是不同的．它在 20 世纪的分析数学中占据着重要的地位．
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