磁场的高斯定律
贡献者： addis; lrqlrqlrq
1磁场的高斯定律（Gauss's law for magnetism）是麦克斯韦方程组中的一条方程．
磁场的高斯定律：对于任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零．
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0
\end{equation}
也就是说空间任意一点的磁场散度为零．适用高斯定理可以写成微分形式：
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0
\end{equation}
接下来我们试着验证一下这一结论是否和我们之前的理论是一致的，也就是说我们能否直接从比奥萨伐尔定律所给出的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} (r)$ 推出，首先我们考虑静磁场下，电流是恒定的，因此电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不会在某一个点聚集或者散开，因此有：
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0
\end{equation}
结合比奥萨伐尔：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{V'}
\end{equation}
利用矢量乘法的规则可得：
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\times \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3}\cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{j}} )- \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})
\end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} = 0$：
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0
\end{equation}
注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况，而后者只适用于静态的情况．
磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应，它反映了自然界没有孤立的磁单极（或者我们还没找到）．形象地看，任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点，它要么是闭合的回路，要么从无穷远来延伸到无穷远去．正因为磁场的这条性质，我们可以将磁感应强度 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 写成某个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 称为矢量势（矢势）．
1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面．