矩阵李群

                     

贡献者： Giacomo

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预备知识　一般线性群，域上的代数

1. 矩阵李群

　　1 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合．全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群，同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合（因此是个子流形）．

定义 1　矩阵李群

　　 对于群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子群 $G$，$G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的一个闭子集．Definition 1.4 [11]

　　 对于一个矩阵李群 $G$，我们有 $$ G \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \subseteq M_n(\mathbb{C}) $$ $G$ 在 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 中是闭的，但在 $M_n(\mathbb{C})$ 中不一定．

2. 例子

例 1　

　　 $$ \operatorname {SL}(n, \mathbb{C}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$ $$ \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$ $$ \operatorname {SL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$

幺正群和正交群

　　

未完成：定义

广义正交群

　　

未完成：定义

　　

未完成：定义：洛伦兹群

　　

未完成：定理：在复数下只有一种正交群

辛群和紧辛群

　　

未完成：定义

（广义）欧几里得群

　　

未完成：定义
未完成：定义：伽利略群和庞加莱群

海森堡群

　　

未完成：定义

性质

预备知识　李群，紧致性，道路连通性，

定理 1　

　　 矩阵李群是李群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子李群

习题 1　

　　 证明它．

习题 2　

　　 判断例子中的那些矩阵李群是

  • 紧致的；
  • （道路）连通的；
  • 单连通的．

　　

未完成：单连通的词条

1. ^ 本文参考 [11]

                     

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