数论函数
贡献者： hfb25
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定义 1 数论函数
以自然数集或正整数集为定义域，以一数集1为值域的函数称为数论函数．
下面列出常见的数论函数（均定义在自然数集上，其中的 $\lambda$ 均是实数）:
例 1 简单数论函数
- 单位函数 $I(n)$
\begin{equation}
I(n) =
\begin{cases}
1,\ n = 1,\\
0,\ n > 1.
\end{cases}
\end{equation}
- 单值函数 $u(n)$
\begin{equation}
u(n)\equiv1
\end{equation}
- 恒等函数 $e(n)$
\begin{equation}
e(n)=n
\end{equation}
- 幂函数 $n^\lambda$
- 对数函数 $\log n$2
例 2 与因数有关的数论函数
- 除数函数 $d(n)$
\begin{equation}
d(n)=\sum_{d|n} 1=
\begin{cases}
1&,n=1,\\
\prod\limits_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}.
\end{cases}
\end{equation}
- 除数和函数 $\sigma(n)$
\begin{equation}
\sigma(n)=\sum_{d|n}d=
\begin{cases}
1&,n=1\\
\prod\limits_{i=1}^{s}\dfrac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}.
\end{cases}
\end{equation}
- 除数幂和函数 $\sigma_\lambda(n)$
\begin{equation}
\sigma_\lambda(n)=\sum_{d|n}d^\lambda
\end{equation}
- 不同素因子个数 $\omega(n)$
\begin{equation}
\omega(n)=\sum_{p|n}1=
\begin{cases}
0,\ n=1,\\
s,\ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}.
\end{cases}
\end{equation}
- 全部素因子个数（按重数计）$\Omega(n)$
\begin{equation}
\Omega(n)=\sum_{p^r\|n}r=
\begin{cases}
0&,n=1,\\
\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}.\\
\end{cases}
\end{equation}
例 3 著名的数论函数
- 素数计数函数 $\pi(n)$
\begin{equation}
\pi(n)=\sum_{p\leq n} 1
\end{equation}
- $\mathrm{M\ddot{o}bius}$ 函数 $\mu(n)$
\begin{equation}
\mu(n)=
\begin{cases}
1&,\ n=1,\\
0&,\ n=l^2k,\ l > 1,\ l,k\in\mathbb{N},\\
(-1)^s&,\ n=p_1p_2p_3\cdots p_s.
\end{cases}
\end{equation}
- $\mathrm{Euler}$ 函数 $\varphi(n)$
\begin{equation}
\varphi(n)=\sum_{1\leq d\leq n,(d,n)=1}1
\end{equation}
- $\mathrm{van\ Mangoldt}$ 函数 $\Lambda(n)$
\begin{equation}
\varLambda(n)=
\begin{cases}
\log p&,\ n=p^s,\\
0&,\ \omega(n)\neq 1.
\end{cases}
\end{equation}
- $\mathrm{Liouville}$ 函数 $\lambda(n)$
\begin{equation}
\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}
\end{equation}
1. ^ 指复数域的一个子集．
2. ^ 在数论研究中，对数函数的底默认为自然常数 $e$．