极坐标中的曲线方程
贡献者： addis
极坐标系中，我们可以用一元函数
\begin{equation}
r = f(\theta)
\end{equation}
表示一条曲线．简单的例子如阿基米德螺线
或圆锥曲线
．以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征．
1. 计算某点切线的方向
在 $x$-$y$ 平面直角坐标系中，我们可以通过求导（$ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $）计算曲线某点切线，那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢？可以证明，切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为
\begin{equation}
\alpha = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}
\end{equation}
或者说与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向的夹角为 $\pi/2 - \alpha$．
未完成：推导
2. 曲线长度
若用 $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$，来表示曲线的一段，那么其长度为
\begin{equation}
l = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta}
\end{equation}
未完成：推导