多元数量函数的隐函数定理

定理 1　(介值定理的一个应用)

　　 设 $D\times E\subset\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}$ 是开集， $F:D\times E\rightarrow\mathbb{R}$ 是数量函数．点 $(x_{0},y_{0})\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

　　 ① $F(x_{0},y_{0})=0$；

　　 ② $F\in\mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续；

　　 ③ 任意固定 $x\in D$, 函数 $y\mapsto F(x,y)$ 都是 $E$ 上的严格单调函数，

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_{0}$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_{0}$ 的某邻域 $B(x_{0},\delta)\subset D$ 及定义在 $B(x_{0},\delta)$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 \[ f(x_{0})=y_{0},\quad F(x,f(x))=0,\quad\forall x\in B(x_{0},\delta). \]

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　　 证明：不妨设条件 ③ 中是严格单增函数．

　　 由函数 $y\mapsto F(x,y)$ 严格单增和 ① 知存在 $y_{1} > y_{0} > y_{2}$ 使得 $F(x_{0},y_{1}) > 0 > F(x_{0},y_{2})$.

　　 再由 $F(x_{0},y_{1}) > 0 > F(x_{0},y_{2})$ 和连续函数的保号性知 $F(x,y)$ 在 $(x_{0},y_{1})$ 的附近总是正的，而在 $(x_{0},y_{2})$ 的附近总是负的．

　　 于是结合条件 ③ 即知，只要每次固定住 $x$, 沿着 $y$ 轴正方向走，$F$ 就可以从负值走向正值．因此，可以利用连续函数的介值定理， 在 $(x_{0},y_{0})$ 的附近唯一地形成一条轨迹 $y=f(x)$ 使得 $F(x,f(x))=0$.

　　 下证 $f(x)$ 的连续性．事实上，$f(x)$ 的连续性是由上述方法的构造过程决定的．若不然，取 $\overline{x}\in B(x_0,\delta)$ 并假设 $f(x)$ 在 $x=\overline{x}$ 不连续，则存在 $\varepsilon_{0} > 0$ 及 $x_{n}\rightarrow\overline{x}$ 使得 $f(x_{n})\notin(f(\overline{x})-\varepsilon,f(\overline{x})+\varepsilon)$. 注意到 \[ F(\overline{x},f(\overline{x})+\varepsilon)>0>F(\overline{x},f(\overline{x})-\varepsilon), \] 因此可以重复存在性的构造过程，在 $\overline{x}$ 的附近及区间 $(f(\overline{x})-\varepsilon,f(\overline{x})+\varepsilon)$ 内部形成一条轨迹，而根据唯一性，该轨迹恰是 $y=f(x)$. 这就与 $f(x_{n})\notin(f(\overline{x})-\varepsilon,f(\overline{x})+\varepsilon)$ 矛盾了．$\square$

定理 2　(隐函数定理：偏导数版本)

　　 设 $D\times E\subset\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}$ 是开集，$F:D\times E\rightarrow\mathbb{R}$ 是数量函数．点 $(x_{0},y_{0})\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

　　 ① $F(x_{0},y_{0})=0$；

　　 ② $F\in\mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续；

　　 ③ $F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0$, 且 $F_{y}(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_{0}$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_{0}$ 的某邻域 $B(x_{0},\delta)\subset D$ 及定义在 $B(x_{0},\delta)$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 \[ f(x_{0})=y_{0},\quad F(x,f(x))=0,\quad\forall x\in B(x_{0},\delta). \]

　　 进一步，若还有以下条件：

　　 ④¹ 梯度 $\nabla_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 都存在，且 $F_y\in\mathrm{C}(D\times E)$ $\,$²,

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 附近的梯度函数 $\nabla f$ 也都存在，并且成立计算公式 \[ \nabla f(x)=-{\displaystyle \frac{\nabla_{x}F(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}},\quad\forall x\in B(x_{0},\delta)． \]

　　 更进一步，若还有：

　　 ⑤³ $\nabla_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续，

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 梯度函数 $\nabla f$ 在 $x=x_{0}$ 附近也连续．

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　　 证明：不妨设条件 ③ 中 $F_{y}(x_{0},y_{0}) > 0.$ 由 $F_{y}(x_{0},y_{0}) > 0$ 和 ① 知存在 $y_{1} > y_{0} > y_{2}$ 使得 $F(x_{0},y_{1}) > 0 > F(x_{0},y_{2})$.

　　 又由 $F_{y}(x_{0},y_{0}) > 0$ 和保号性知 $F_{y}(x,y)$ 在 $(x_{0},y_{0})$ 的附近 $B((x_{0},y_{0}),\delta)$ 内是严格正的，即 $F(x,y)$ 关于 $y$ 变元在 该附近⁴ 是严格单增的（沿 $y$ 轴正方向严格单增）.

　　 再由 $F(x_{0},y_{1}) > 0 > F(x_{0},y_{2})$ 和保号性知 $F(x,y)$ 在 $(x_{0},y_{1})$ 的附近总是正的，而在 $(x_{0},y_{2})$ 的附近总是负的．

　　 结合以上三点就可以利用上一个 定理 1 , 得到相同的结论．

　　 进一步，若还有条件 ④, 取 $\overline{x}$ 为 $B(x_{0},\delta)$ 中任意一点并固定它，来证 $\nabla f(\overline{x})$ 存在．因而取 $\left|\triangle x\right|\ll1$ 有

　　 另一方面，由于 $F(\overline{x},f(\overline{x}))=F(\overline{x}+\triangle x,f(\overline{x}+\triangle x))=0$ 则两式相减得

其中用到了微分中值定理，且 $\xi=\xi(\triangle x)$ 使得 $f(\overline{x}) < \xi < f(\overline{x}+\triangle x)$. 上式说明了 \[ A=-{\displaystyle \frac{F(\overline{x}+\triangle x,f(\overline{x}))-F(\overline{x},f(\overline{x}))}{F_{y}(\overline{x}+\triangle x,\xi)}} \] 将它代入（式 1 ）并取极限即得 而取极限的过程要用到 $F_{y}$ 在 $D\times E$ 上的连续性⁵ (由条件 ② 保证).

　　 更进一步，若还有条件 ⑤, 则 $\nabla f$ 在 $x=x_{0}$ 附近的连续性由计算公式（式 3 ）的形式保证．

定理 3　(隐函数定理：全微分版本)

　　 设 $D\times E\subset\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}$ 是开集，$F:D\times E\rightarrow\mathbb{R}$ 是数量函数．点 $(x_{0},y_{0})\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

　　 ① $F(x_{0},y_{0})=0$；

　　 ② $F\in\mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续；

　　 ③ $F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0$, 且 $F_{y}(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_{0}$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_{0}$ 的某邻域 $B(x_{0},\delta)\subset D$ 及定义在 $B(x_{0},\delta)$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 \[ f(x_{0})=y_{0},\quad F(x,f(x))=0,\quad\forall x\in B(x_{0},\delta). \]

　　 进一步，若还有以下条件：

　　 ④⁶ 全微分 $\mathrm{d}_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 都存在，且 $\nabla_x f(x,y)$ 关于变元 $y$ 连续,

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 附近的梯度函数 $\nabla f$ 也都存在，并且成立计算公式 \[ \nabla f(x)=-{\displaystyle \frac{\nabla_{x}F(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}},\quad\forall x\in B(x_{0},\delta)． \]

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　　 证明：定理在满足条件①②③时的前半部分是与上一个 定理 2 完全一样的，因而结论和证明不需修改．

　　 下证在满足条件 ④ 时 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 附近的梯度函数 $\nabla f$ 也都存在．事实上，取 $\overline{x}\in B(x_{0},\delta)$ 并固定它，再取 $\left|\triangle x\right|\ll1$．

　　 由于 $F(\overline{x},f(\overline{x}))=F(\overline{x}+\triangle x,f(\overline{x}+\triangle x))=0$, 则两式相减得

注意这里的加一项减一项的处理与上一个定理是不同的．利用全微分公式可得当 $\triangle x\rightarrow0$ 时有 \[ \mathrm{I}=\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}+\triangle x))\cdot\triangle x+o(|\triangle x|), \] 因为 $\mathrm{I}+\mathrm{II}=0$ 且 $F_{y}(\overline{x},f(\overline{x}))\neq0$ (由条件 ③ 的保号性保证), 所以当 $\triangle x\rightarrow0$ 时有 \[ \left(f(\overline{x}+\triangle x))-f(\overline{x})\right)\cdot(1+o(1))={\displaystyle -\frac{\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}+\triangle x))\cdot\triangle x}{F_{y}(\overline{x},f(\overline{x}))}+o(|\triangle x|).} \] 由于 $(1+o(1))^{-1}=1+o(1)$, 且 $\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}+\triangle x))=\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}))(1+o(1))$, 所以 \[ \left(f(\overline{x}+\triangle x))-f(\overline{x})\right)={\displaystyle -\frac{\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}))\cdot\triangle x}{F_{y}(\overline{x},f(\overline{x}))}+o(|\triangle x|)\quad\quad(\triangle x\rightarrow0),} \] 即 \[ \nabla f(\overline{x})=-\frac{\mathrm{\nabla}_{x}F(\overline{x},f(\overline{x}))}{F_{y}(\overline{x},f(\overline{x}))}. \]