贡献者： 零穹
定义 1 不变子空间
子空间 $U\in V$ 相对于线性算子 $\mathcal{A}:V\rightarrow V$ 是不变的，如果 $\mathcal{A}U\subset U$．
例 1
算子 $\mathcal{A}$ 的核 $\mathrm{Ker}\;\mathcal A$ 和像 $\mathrm{Im}\;\mathcal{A}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathrm{Ker}\;\mathcal{A}&=\{ v\in V|\mathcal{A} v= 0\}\\
\mathrm{Im}\;\mathcal{A}&=\{ w\in V| w=\mathcal{A} v,\forall v\in V\}
\end{aligned}
\end{equation}
都是 $\mathcal A$ 的不变子空间．
定理 1
$n$ 维矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的 $m$ 维不变子空间 $U$ 和 $(n-m)$ 维不变子空间 $W$ 的直和，当且仅当算子 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $A$ 在某基底下具有分块对角形式
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}
\end{equation}
其中，$A_U,A_W$ 分别是 $m$ 阶方阵和 $(n-m)$ 阶方阵．即
\begin{equation}
V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}
\end{equation}
证明：1.$
V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W\Rightarrow A=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}
$
设 $U$ 的基底为 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$，$W$ 的基底为 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$，则由定理 1 ，$(\hat e_{1},\cdots,\hat e_n)$ 是 $V$ 的基底．
由于 $\mathcal{A}u\in U, \mathcal{A} w\in W,\forall u\in U, w\in W$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=1}^m a_{ij}\hat e_i,\quad j=1,\cdots ,m\\
\mathcal{A}\hat e_j&=\sum_{i=m+1}^n a_{ij}\hat e_i,\quad j=m+1,\cdots ,n
\end{aligned}
\end{equation}
由线性算子与矩阵的对应关系
式 3 ，知算子 $\mathcal{A}$ 的对应矩阵 $A$ 即为
\begin{equation}
A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}
\end{equation}
2.$
A=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}\Rightarrow V=U\oplus W,\mathcal{A}U\subset U,\mathcal{A}W\subset W
$
任选 $V$ 的基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$, 由算子和矩阵对应关系式 3 ，即得 $A$ 对应的算子 $\mathcal{A}$ 具有关系式式 4 ．而这意味着由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_m)$ 和 $(\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n)$ 张成的空间 $U=\langle\hat e_1,\cdots,\hat e_m\rangle$ 和 $W=\langle\hat e_{m+1},\cdots,\hat e_n\rangle$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，而由基底 $(\hat e_1,\cdots,\hat e_n)$ 的线性无关性可知，$V=U\oplus W$．
证毕！
式 2 中，可以把 $A_U,A_W$ 看成是算子 $\mathcal{A}$ 分别限制在 $U$ 和 $W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U$ 和 $\mathcal{A}_W$ 对应的矩阵．
定义 2 算子的直和
若矢量空间 $V$ 是算子 $\mathcal{A}$ 的不变子空间 $U,W$ 的直和 $V=U\oplus W$，则称算子 $\mathcal{A}$ 是其限制在 $U,W$ 上的算子 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 的直和，并记作
\begin{equation}
\mathcal{A}=\mathcal{A}_U\dot{+}\mathcal{A}_W
\end{equation}
此时称算子 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵 $A$ 是 $\mathcal{A}_U,\mathcal{A}_W$ 对应矩阵 $A_U$ 和 $A_W$ 的直和，并记作
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
A_U&0\\
0&A_W
\end{pmatrix}=A_U\dot{+}A_W
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。