日晷的计算

贡献者： addis

一根垂直地面的杆如何判断时间？（只能用顶点判断）

1. 水平日晷

预备知识　解三棱锥顶角

　　常见的水平日晷如图 1 和图 2 所示．把图片打印后，把直角三角形的底边垂直固定在半圆的 12 点方向，然后把半圆水平放于地面，12 点方向指向正北（地轴北）即可．此时三角形的斜边，也就是日晷的指针与地轴平行．太阳绕日晷指针以每小时 15°（一天 360°）的角速度匀速转动．

图 1：水平日晷（来自 Wikipedia）

　　该类型日晷的一个画图网页见这里．

图 2：北纬 30° 的日晷

　　日晷圆盘上的刻度与所在纬度有关，若将其放在北极或南极，那么直角三角形的就变为一个和地面垂直的线段，且表盘上的刻度是均匀的．相反，若把这种日晷放在赤道上，那么三角形的斜边将会与 12 点的刻度共线，此时这种日晷将失效．

　　刻度的具体计算并不复杂，公式为

\begin{equation} \beta = \tan^{-1}(\sin\alpha \tan \theta) \end{equation}

其中 $\beta$ 是表盘上某个刻度到 12 点刻度的夹角；$\theta$ 是太阳关于地轴（指针）旋转的角度——每小时增加 15 度，正午为 0 度；$\alpha$ 是当地纬度．可以验证在北极点处即 $\alpha = \pi/2$ 时 $\beta = \theta$．

　　证明：令式 6 中 $\theta_2 = \pi/2$，$\theta_1 = \theta$ 即可．表盘的中心就是三棱锥顶点．

　　我们给出水平日晷的 Matlab 画图代码，结果类似图 2 ．

代码 1：sunDial.m

alpha = pi/6; % 纬度
th = linspace(-pi/2, pi/2, 13);
beta = atan(sin(alpha).*tan(th));
th0 = linspace(-pi/2, pi/2, 1000);
figure; plot(cos(th0),sin(th0), 'k'); hold on;
for i = 1:13
    plot([0,cos(beta(i))], [0,sin(beta(i))], 'k');
end
axis equal; view(-90, 90);
axis([-0.1, 1.1, -1.1, 1.1]);

2. 赤道平面日晷

　　另一种在任何纬度都适用的方案是让刻度盘始终与指针保持垂直，而指针始终平行于地轴．这种日晷的结构相对更复杂，但表盘上的刻度始终是均匀的，只需调整表盘与底座之间的夹角就能适用于不同纬度．

图 3：故宫的日晷（来自 Wikipedia）

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