幂级数（简明微积分）
贡献者： addis
我们把形如
\begin{equation}
s = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n
\end{equation}
的表达式叫做
幂级数（power series）．其中 $(x-x_0)^0$ 始终视为 $1$，即使 $x-x_0 = 0$．
幂级数是无穷级数的一种，是一个极限．如果我们把前有限项的求和记为
\begin{equation}
s_m = \sum_{n=0}^m c_n (x-x_0)^n
\end{equation}
那么
式 1 幂级数就是
\begin{equation}
s = \lim_{m\to\infty} s_m
\end{equation}
的简写．对给定的 $x$，当极限存在时，我们就说级数
收敛（converge），反之就说级数
不收敛或
发散（diverge）．广义来说，幂级数中的 $c_n, x, x_0$ 都可以是复数复数
．
1. 收敛半径
一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_0$ 一点处收敛（例如 $c_n = n^n$）．除此之外，必定存在一个收敛半径（radius of convergence） $0 < r < 1$，使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时级数总是收敛，而 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 时总是发散（不收敛）．当 $x$ 是复数时，复平面上收敛的区域就是以 $x_0$ 为圆心的一个开圆盘．当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert = r$ 时，幂级数可能收敛也可能不收敛．
计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法
\begin{equation}
r = \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{c_n}{c_{n+1}} \right\rvert
\end{equation}
但前提是该极限存在，普适的方法见柯西—阿达玛公式
．
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