贡献者： JierPeter; defusing
1. 单纯形
单纯形可以被认为是欧几里得空间中的一种子集，最初的概念来源于对拓扑空间的三角剖分，而单纯形就是剖分出来的每个 “三角形”．这里之所以要打引号，是因为单纯形不仅仅指二维的三角形，也包括三维的锥形，以及从零维到任意维的拓展．
定义 1 几何无关点集
给定欧几里得空间中 $n$ 个点构成的集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$．任取一个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$，我们以它为起点构造出若干向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i= \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$．
如果集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i\not= k}$ 是一个线性无关向量组，那么我们说 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$ 是一个几何无关（geometrically independent）点集．
注意几何无关点集和线性无关向量组有一点点区别，那就是几何无关点集里多了一个 “起点” 的位置．这个起点没法简单地排除在外，因为任意一个点都可以做起点，没必要确定谁更特殊．
定义 2 单纯形
给定欧几里得空间中一个几何无关点集 $A=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}$．
记 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$ 为集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} =\sum\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i|\lambda_i\geq 0, \sum\lambda_i=1\}$，称这个集合为由 $A$ 张成的 $q$ 维单纯形（simplex），简称 $q$-单形．
比如说，三维空间里 $3$ 个几何无关点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 可以张成一个 $2$-单形，就是以这三个点为顶点的平面三角形．类似地，一个 $3$-单形就是一个三棱锥．一个 $0$-单形就是一个单点集，即 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} ]=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \}= \boldsymbol{\mathbf{r}} $．
定义 3 标准单纯形
由欧几里得空间中的原点和各坐标轴上距离原点为 $1$ 的点构成的单纯形，称为标准单纯形．
定义 4 面
令 $L$ 为单形 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$，则对于 $r\leq q$，$L$ 的一个 $r$ 维面就是 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q\}$ 的一个 $r$ 阶子集所张成的单形．
定义 5 规则相处
对于两个单形 $A$ 和 $B$，如果 $A\cap B$ 既是 $A$ 的面，也是 $B$ 的面，那么称 $A$ 和 $B$ 是规则相处的．
从上面的表述可以看出，尽管我们一开始引入单纯形概念的时候依赖于欧几里得空间的性质，是一种高度几何化的语言，但是表示时我们其实只关心是哪些顶点在构成一个单纯形．这就使得我们可以将单纯形的概念抽象化，将 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$ 视作这 $q+1$ 个元素的一个组合，忽视掉几何特征，从而可能代数地描述这些结构．从这个角度来说，单形的面就是其子集，而脱去了几何概念之后我们完全可以认为任何单形都是规则相处的——这也是几何语言里要强调规则相处的意义．
2. 复合形
定义 6 复合形
一个复合形（complex），简称复形，是一个单纯形的集合，其中各单形规则相处，且每个单形的面也都是该复形的一个元素．
一个复形中维度最大的单形的维度，称为该复形的维度．
图 1：复形的例子．这个复形是由一个三角形、四条线段和四个点构成的．
图 2：复形的例子．这个复形是由一个三角形、四条线段和五个点构成的
例 1 复形的例子
- 三维欧几里得空间中，集合 $\{(x, 0)|x\in[0,1]\}, \{(0, y)|y\in[0, 1]\}, \{(0, 0)\}, \{(1, 0)\}, \{(0, 1)\}$ 所构成的集合，是一个复形．这个复形中一共有五个元素，分别是两条线段和三个点．
- 如图图 1 所示，四个点 $a, b, c, d$ 几何无关，并且构成了复形 $\{[a], [b], [c], [d], [a, b], [a, c], [b, c], [a, d], [a, b, c]\}$．
- 如图图 2 所示，五个点构成了复形 $\{[a], [b], [c], [d], [e], [a, b], [a, c], [b, c], [d, e], [a, b, c]\}$．和上一个例子相比，这个复形是有两个连通分支的．
- 闭包复形 一个单形 $L$ 的全体面的集合，构成一个复形，称为 $L$ 的闭包复形，记为 $ \operatorname {Cl} L$．
- 边缘复形 一个单形 $L$ 的全体真面1的集合，构成一个复形，称为 $L$ 的边缘复形，记为 $ \operatorname {Bd} L$．
定义 7 子复形
一个复形 $K$ 的子集 $J$ 如果还是一个复形，那么称 $J$ 是 $K$ 的子复形．
定义 8 骨架
$q$ 维复形 $K$ 的全体维度小于等于$r$ 的单形之集合，称为 $K$ 的 $r$ 维骨架，记为 $K^r$．
1. ^ 即作为真子集的面．
